Sobre Esfera

Volume da Esfera

Consideremos um cilindro de raio da base r ( a altura é 2r ) e seja S o ponto médio do eixo do cilindro.

Tomemos dois cones tendo como bases as do cilindro e S como vértice comum ( a reunião desses dois cones é um sólido chamado Clépsidra ).

Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois cones vamos chamar de sólido X ( este sólido X é chamado anticlepsidra ).

Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X descrito acima

Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano α, que o cilindro ( que originou o sólido X ) tenha base em α e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num mesmo semi-espaço dos determinados por α.

Qualquer plano secante β, paralelo a α, distando d do centro da esfera ( e do vértice do sólido X ), também secciona o sólido X. Temos

Área da secção na esfera = πs² = π(r² – d²)     círculo

Área da secção no sólido X = πr² – πd² = π(r² – d²)    coroa circular

As áreas das secções na esfera e no sólido X são iguais; então, pelo princípio de Cavalieri, a esfera e o sólido X têm volumes iguais.

V esfera =  Vsólido X

Mas:

• Vsólido X = Vcilindro –  2Vcone = πr² . 2r – 2 . (1/3 π r² . r )= πr² . 2r – 2/3πr³ = 4/3 πr³

Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é de 4/3 πr³

V= 4/3 πr³

Noção intuitiva da área

Se considerarmos uma superfície limitada de área A e sobre ela formarmos um sólido de altura x de bases “ paralelas ”, teremos, indicando com V, o volume do sólido de base A e altura x.

Esta última igualdade é verificada para qualquer x.

Intuitivamente, uma superfície é imaginada como uma “placa sólida” de “espessura infinitamente pequena”

Por isso, se uma “ placa sólida “ de volume Vp e espessura x for tal que a expressão ( função).

Vp/x  tem sentido para x = 0, então

Vp/x ( para x =0 ) será definida como a área da placa

Assi agindo, podemos deduzir as expressões das áreas lateral da superfície esférica.

Área da superfície esférica.

Vp= 4/3π(r + x)³ – 4/3πr³  → Vp= 4/3π[(r + x)³ – πr³]→ Vp= 4/3π[3r²x + 3rx²+x³ ]→

→Vp/x= 4/3π[3r² + 3rx+x² ].

Então, para x=0, vem:

• A= 4/3π[3r² + 3r.0+0 ] =               A= 4πr²

Referência bibliográfica

Gelson Iezzi; Fundamentos de matemática Elementar Vol 10 – Geometria Espacial – Parte 2

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Volume da esfera

O volume da esfera

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